A Study of Coppersmith ' S Block Wiedemannalgorithm Using Matrix Polynomialsgilles

Nous analysons un algorithme probabiliste par blocs, propos e par Coppersmith, pour la r esolution de grands syst emes lin eaires creux Aw = 0 donn es sur un corps ni K =GF(q). Cet algorithme est une modiication d'un algorithme de Wiedemann. Coppersmith a justii e sa m ethode par plusieurs arguments heuristiques. Une question ouverte etait de d emontrer que l'algorithme peut eeectivement fournir une solution, avec une probabilit e strictement plus grande que z ero, sur les corps de petite cardi-nalit e tels que K =GF(2). Nous r epondons a la question a peu pr es compl etement. L'algorithme utilise deux matrices X et Y de dimensions m N et N n. Sur un corps ni quelconque, nous expliquons comment les param etres m et n peuvent ^ etre r egl es de mani ere a ce que, pour un syst eme quelconque en entr ee, une solution soit produite avec une bonne probabilit e. Inversement, pour certains syst emes particuliers dits non pathologiques, nous montrons que les contraintes sur m et n peuvent ^ etre rel^ ach ees en continuant d'assurer une bonne probabilit e de r eussite. Accessoirement, nous am eliorons une borne donn ee par Kaltofen dans les cas des corps nis a grands nombres d' el ements. Ennn, pour rester complets dans notre g en eralisation des etudes de Wiedemann au cas matriciel, nous esquissons rapidement une version d eterministe de l'algorithme par blocs. Abstract. We analyse a randomized block algorithm proposed by Copper-smith for solving large sparse systems of linear equations, Aw = 0, over a nite eld K =GF(q). It is a modiication of an algorithm of Wiedemann. Coppersmith has given heuristic arguments to understand why the algorithm works. But it was an open question to prove that it may produce a solution, with positive probability, for small nite elds e.g. for K =GF(2). We answer this question nearly completely. The algorithm uses two random matrices X and Y of dimensions m N and N n. Over any nite eld, we show how the parameters m and n of the algorithm may be tuned so that, for any input system, a solution is computed with high probability. Conversely, for certain particular input systems, we show that the conditions on the input parameters may be relaxed to ensure the success. We also improve the probability bound of Kaltofen in the case of large …